\section{线性方程组有解判别定理}

\begin{frame}{线性方程组有解判别定理}
在有了向量和矩阵的理论准备之后， 我们现在可以来分析一下线性方程组的问题， 给出线性方程组有解的判别条件。

设线性方程组为
\[
  \left\{\begin{array}{c}
    a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \tag{1}\\
  a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s} .
\end{array}\right.
\]
引入向量
\[
   \alpha_{1}=\left(\begin{array}{c}
    a_{11}  \tag{2}\\
  a_{21} \\
\vdots \\
a_{s 1}
\end{array}\right), \quad  \alpha_{2}=\left(\begin{array}{c}
  a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{s 2}
\end{array}\right), \quad \cdots, \quad  \alpha_{n}=\left(\begin{array}{c}
  a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{s n}
\end{array}\right), \quad  \beta=\left(\begin{array}{c}
  b_{1} \\
b_{2} \\
\vdots \\
b_{s}
\end{array}\right),
\]
于是线性方程组 (1) 可以改写成向量方程
\begin{equation*}
x_{1}  \alpha_{1}+x_{2}  \alpha_{2}+\cdots+x_{n}  \alpha_{n}= \beta . \tag{3}
\end{equation*}
显然，\emph{线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为向量 $ \beta$ 可以表成向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots$, $ \alpha_{n}$ 的线性组合}。
用秩的概念，方程组 (1) 有解的条件可以叙述如下：

\end{frame}
\begin{frame}
  \begin{theorem}%定理7 
    [线性方程组有解判别定理]
    \label{1A6}
    线性方程组 (1) 有解的充分必要条件为它的系数矩阵
  \[
     A=\left(\begin{array}{cccc}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
    a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
  \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n}
\end{array}\right)
\]
与增广矩阵
\[
  \overline{ A}=\begin{pmatrix}
    A & \beta
  \end{pmatrix}=\left(\begin{array}{ccccc}
    a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_{1} \\
  a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_{2} \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{s 1} & a_{s 2} & \cdots & a_{s n} & b_{s}
\end{array}\right)
\]
有相同的秩。
\end{theorem}



\begin{proof}
先证必要性。 设线性方程组 (1) 有解，就是说， $ \beta$ 可以经向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$线性表出。由此立即推出，向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 与向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n},  \beta$ 等价，因而有相同的秩。 这两个向量组分别是矩阵 $ A$ 与 $\overline{ A}$ 的列向量组。 因此，矩阵 $ A$ 与 $\overline{ A}$ 有相同的秩。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{proof}[续]
再证充分性。 设矩阵 $ A$ 与 $\overline{ A}$ 有相同的秩，
就是说， 它们的列向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 
与 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n},  \beta$ 有相同的秩，
令它们的秩为 $r$. $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 
中的极大线性无关组是由 $r$个向量组成，
无妨设 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 
是它的一个极大线性无关组。显然 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 
也是向量组 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n},  \beta$ 
的一个极大线性无关组，因此向量 $ \beta$ 可以经 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_r$
线性表出。
既然 $ \beta$ 可以经 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{r}$ 线性表出， 
当然它可以经 $ \alpha_{1},  \alpha_{2}, \cdots,  \alpha_{n}$ 线性表出。 因此， 方程组 (1) 有解。
\end{proof}

应该指出， 这个判别条件与以前的消元法是一致的。 
我们知道， 用消元法解线性方程组 (1) 的第一步就是用初等行变换把增广矩阵 $\bar{A}$ 化成阶梯形。 
\S1 中我们从此阶梯形分析了解的情况，也容易由此推出定理~\ref{1A6}。

\end{frame}
%这个阶梯形矩阵在适当调动前 $n$ 列的顺序之后可能有两种情形：
%\[
%\left(\begin{array}{ccccccc}
%c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & \cdots & c_{1 n} & d_{1} \\
%0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & \cdots & c_{2 n} & d_{2} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & c_{r r} & \cdots & c_{r n} & d_{r} \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & d_{r+1} \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 0
%\end{array}\right)
%\]
%或者
%\[
%\left(\begin{array}{ccccccc}
%c_{11} & c_{12} & \cdots & c_{1 r} & \cdots & c_{1 n} & d_{1} \\
%0 & c_{22} & \cdots & c_{2 r} & \cdots & c_{2 n} & d_{2} \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & c_{r r} & \cdots & c_{r n} & d_{r} \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
%\vdots & \vdots & & \vdots & & \vdots & \vdots \\
%0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & 0
%\end{array}\right),
%\]
%其中 $c_{i i} \neq 0, i=1,2, \cdots, r, d_{r+1} \neq 0$. 在前一种情形， 我们说原方程组无解， 而在后一种情形方程组有解。 实际上， 把这个阶梯形矩阵中最后一列去掉， 那就是线性方程组 (1) 的系数矩阵 $A$ 经过初等行变换所化成的阶梯形。 这就是说， 当系数矩阵与增广矩阵的秩相等时，方程组有解; 当增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩加 1 时，方程组无解。
%
%以上的说明也可以认为是判别定理的另一个证明。
%
%根据克拉默法则，也可以给出一般线性方程组的一个解法。 这个解法有时在理论上是有用的。\\
%设线性方程组 (1) 有解，矩阵 $ A$ 与 $\overline{ A}$ 的秩都等于 $r$, 而 $D$ 是矩阵 $ A$ 的一个不为零的 $r$ 阶子式 (当然它也是 $\overline{ A}$ 的一个不为零的子式), 为了方便起见， 无妨设 $D$ 位于 $ A$ 的左上角。
%
%显然，在这种情况下， $\bar{A}$ 的前 $r$ 行就是一个极大线性无关组，第 $r+1, \cdots, s$ 行都可以经它们线性表出。 因此， 方程组 (1)与
%\[
%\left\{\begin{array}{c}
%a_{11} x_{1}+\cdots+a_{1 r} x_{r}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1},  \tag{4}\\
%a_{21} x_{1}+\cdots+a_{2 r} x_{r}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{r 1} x_{1}+\cdots+a_{r r} x_{r}+\cdots+a_{r n} x_{n}=b_{r}
%\end{array}\right.
%\]
%同解。
%
%当 $r=n$ 时，由克拉默法则，方程组 (4) 有唯一解，也就是方程组 (1) 有唯一解。
%
%当 $r<n$ 时，将方程组 (4) 改写为
%\[
%\left\{\begin{array}{c}
%a_{11} x_{1}+\cdots+a_{1 r} x_{r}=b_{1}-a_{1, r+1} x_{r+1}-\cdots-a_{1 n} x_{n},  \tag{5}\\
%a_{21} x_{1}+\cdots+a_{2 r} x_{r}=b_{2}-a_{2, r+1} x_{r+1}-\cdots-a_{2 n} x_{n}, \\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \\
%a_{r 1} x_{1}+\cdots+a_{r r} x_{r}=b_{r}-a_{r, r+1} x_{r+1}-\cdots-a_{r n} x_{n} .
%\end{array}\right.
%\]
%(5) 作为 $x_{1}, \cdots, x_{r}$ 的一个方程组， 它的系数行列式 $D \neq 0$. 由克拉默法则， 对于 $x_{r+1}, \cdots$, $x_{n}$ 的任意一组值，方程组 (5), 也就是方程组 (1), 都有唯一的解。 $x_{r+1}, \cdots, x_{n}$ 就是方程组 (1) 的一组自由未知量。对 (5) 用克拉默法则，可以解出 $x_{1}, \cdots, x_{r}$, 即
%\[
%\left\{\begin{array}{c}
%x_{1}=d_{1}^{\prime}+c_{1, r+1}^{\prime} x_{r+1}+\cdots+c_{1 n}^{\prime} x_{n},  \tag{6}\\
%\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
%x_{r}=d_{r}^{\prime}+c_{r, r+1}^{\prime} x_{r+1}+\cdots+c_{r n}^{\prime} x_{n} .
%\end{array}\right.
%\]
%(6) 就是方程组 (1) 的通解。


